Ipotesi del continuo

Disambiguazione – Se stai cercando l'ipotesi riguardante i fluidi, più propriamente detta del mezzo continuo, vedi Fluidodinamica#L'ipotesi del mezzo continuo.

In matematica, l'ipotesi del continuo è un'ipotesi avanzata da Georg Cantor che riguarda le dimensioni possibili per gli insiemi infiniti. Cantor introdusse il concetto di cardinalità e di numero cardinale (che possiamo immaginare come una "dimensione" dell'insieme) per confrontare tra loro insiemi transfiniti, e dimostrò l'esistenza di insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri naturali e i numeri reali. L'ipotesi del continuo afferma che:

Non esiste alcun insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa fra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.

In simboli, dato che la cardinalità degli interi ${\displaystyle |\mathbb {Z} |}$ è ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (aleph-zero) e la cardinalità dei numeri reali ${\displaystyle |\mathbb {R} |}$ è ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$, l'ipotesi del continuo afferma:

${\displaystyle \nexists A:\aleph _{0}<|A|<2^{\aleph _{0}}}$

dove ${\displaystyle |A|}$ indica la cardinalità di ${\displaystyle A}$.

Il nome di questa ipotesi deriva dalla retta dei numeri reali, chiamata appunto "il continuo". Vi è anche una generalizzazione dell'ipotesi del continuo, denominata "ipotesi generalizzata del continuo", e che afferma che per ogni cardinale transfinito T

${\displaystyle \nexists A:|T|<|A|<2^{|T|}}$

Gli studi di Gödel e Cohen hanno permesso di stabilire che nella teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel comprensiva dell'assioma di scelta l'ipotesi del continuo risulta indecidibile.