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Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l'operazione definita in G.
Ogni gruppo G contiene almeno due sottogruppi: il gruppo G stesso, ed il sottogruppo banale formato unicamente dall'elemento neutro di G (naturalmente questi coincidono se ha un solo elemento).
Un sottogruppo si dice proprio se H è un sottoinsieme proprio di G.