Teoria del primo ordine

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Nella logica matematica, una teoria del primo ordine (o calcolo dei predicati) è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale, in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico. La teoria del prim'ordine estende di fatto la logica proposizionale con l'introduzione di quantificatori esistenziali e universali, predicati, funzioni, variabili e costanti, che apportano maggiore potenza espressiva al calcolo dei predicati^[1].

Come per la logica proposizionale, la teoria del primo ordine può essere scissa in due parti separate:

• la sintassi, che definisce il vocabolario simbolico di base e le regole per la costruzione di enunciati complessi,
• la semantica, che interpreta questi enunciati come espressione delle relazioni tra gli elementi di un dominio, aggregati mediante un assegnamento.

Un predicato è un'espressione linguistica che può essere collegata a uno o più elementi del dominio per formare una frase. Ad esempio, nella frase "Marte è un pianeta", l'espressione "è un pianeta" è un predicato che è legato al nome (un simbolo costante) "Marte" per formare una frase. Nella frase "Giove è più grande di Marte", l'espressione "è più grande di" è un predicato che collega i due nomi, "Giove" e "Marte", per formare una frase.

In logica matematica, quando un predicato è legato a un'espressione, si dice che esprime una proprietà (come la proprietà di essere un pianeta nell'esempio precedente), e quando è legato a due o più espressioni, si dice che esprime una relazione (come la relazione per un pianeta di essere più grande di un altro). Così è ragionare su affermazioni come "Ogni x è bello" e "Esiste un x tale che per ogni y, x è amico di y", che simbolicamente è espresso dalla formula: ${\displaystyle \exists x|\forall y~\mathrm {amico} (x,y)}$.

Va notato che la teoria del primo ordine non contiene in sé nessuna relazione specifica (come una relazione d'ordine, inclusione o uguaglianza).