0.999...

Dalam matematik, perpuluhan berulang 0.999... (kadang kala ditulis dengan lebih atau kurang angka 9 sebelum elipsis akhir seperti 0.9... misalnya, atau dalam pelbagai notasi lain seperti 0.9, 0.(9), atau ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {0} .\mathbf {\dot {9}} }$) menandakan sebuah nombor nyata yang boleh dibuktikan bersamaan dengan nombor satu. Dengan erti kata lain, simbol "0.999..." dan "1" mewakilkan nombor yang sama. Bukti-bukti matematik bagi kesamaan ini telah dihasilkan dengan bermacam-macam kerapian matematik yang mengambil kira pembangunan nombor-nombor nyata yang diutamakan, andaian latar belakang, konteks sejarah dan kumpulan sasaran.

Setiap angka perpuluhan bukan sifar yang berakhir (dengan jumlah angka 0 yang tidak terhingga) mempunyai perwakilan pasangan yang sama nilainya dengan jumlah angka 9 yang tidak terhingga (contohnya, 8.32 dan 8.31999...). Biasanya, perwakilan perpuluhan berakhir lebih digemari, menyebabkan tanggapan salah bahawa ia merupakan satu-satunya bentuk perwakilan. Fenomena matematik yang serupa turut berlaku dalam semua asas (dengan digit terbesar sesuatu asas) atau dalam sebarang perwakilan nombor nyata yang serupa seperti ini.

Kesamaan 0.999... dan 1 berkait rapat dengan ketiadaan infinitesimal bukan sifar dalam sistem nombor nyata, sistem yang paling biasa digunakan dalam analisis matematik. Sesetengah sistem nombor berlainan seperti sistem hipernyata, ada mempunyai infinitesimal bukan sifar. Dalam kebanyakan sistem nombor alternatif ini, tafsiran biasa ungkapan 0.999... menjadikannya sama dengan 1, tetapi dalam sesetengah sistem nombor ini, simbol "0.999..." menggunakan tafsiran-tafsiran lain yang mempunyai jumlah angka 9 yang tidak terhingga tetapi masih lagi teramat sedikit kurang daripada 1.

Kesamaan 0.999... = 1 telah lama diterima oleh ahli matematik dan merupakan sebahagian daripada pengajaran matematik umum. Walau bagaimanapun, sesetengah pelajar merasakan bahawa ia terlalu bertentangan dengan kebiasaan sehingga mereka mempersoal atau menolak fakta ini. Perkara ini cukup biasa berlaku sehinggakan kesukaran untuk meyakinkan pelajar akan kebenaran identiti ini telah menjadi subjek pelbagai kajian dalam pengajaran matematik.