Abstracte algebra

De abstracte algebra is het deelgebied van de wiskunde, waar men algebraïsche structuren, zoals groepen, ringen en lichamen of velden, modulen, vectorruimten en algebra's bestudeert. De term "abstracte algebra" werd in het begin van de twintigste eeuw ingevoerd om dit studieterrein te onderscheiden van de "algebra" of "middelbare-schoolalgebra", waar het meer gaat om het toepassen van de correcte regels om formules en algebraïsche uitdrukkingen in reële getallen, complexe getallen en onbekenden te manipuleren. Dit onderscheid wordt tegenwoordig zelden meer gemaakt.

De hedendaagse wiskunde en wiskundige natuurkunde maken intensief gebruik van de abstracte algebra, de theoretische natuurkunde maakt bijvoorbeeld gebruik van lie-algebra's. Vakgebieden zoals de algebraïsche getaltheorie, algebraïsche topologie en de algebraïsche meetkunde passen algebraïsche methoden toe op andere gebieden van de wiskunde. Representatietheorie haalt ruwweg gesproken het 'abstracte' uit de 'abstracte algebra' en bestudeert de concrete kant van een gegeven algebraïsche structuur; zie modeltheorie.

Twee wiskundige vakgebieden die de eigenschappen van algebraïsche structuren als een geheel bestuderen zijn de universele algebra en de categorietheorie. Algebraïsche structuren vormen samen met de bijbehorende homomorfismen categorieën. De categorietheorie is een krachtige formalisme om de verschillende algebraïsche structuren te bestuderen en vergelijken.