Cyclische orde

In de ordetheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een cyclische orde of cyclische ordening op een verzameling ${\displaystyle V}$ een ordening van de elementen van ${\displaystyle V}$, zodat zij een cirkel vormen. Een cyclische ordening van een verzameling ${\displaystyle V}$ kan als een bijectie van ${\displaystyle V}$ naar een deelverzameling van een cirkel worden gedefinieerd. Als ${\displaystyle V}$ maar eindig veel elementen heeft, kunnen die voorgesteld worden als aparte punten op een cirkel, waarbij men steeds als volgend punt de opvolger aantreft en alle elementen tegenkomt. Een cirkel van elementen kan bijvoorbeeld als volgt worden genoteerd: ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \ldots \leq x_{n}\leq x_{1}}$, waarin '${\displaystyle \leq }$' de relatie tussen twee opeenvolgende elementen ${\displaystyle x_{i}}$ geeft. Een deelverzameling van een reële getallenverzameling kan gegeven de relatie, die de waarde van twee getallen met elkaar vergelijkt, dus nooit cyclisch zijn.

Wanneer aan een verzameling met een bepaalde ordening de voorwaarde wordt gesteld, dat die antisymmetrisch is, kunnen er in de ordening geen cykels voorkomen. Een relatie heet antisymmetrisch als zowel ${\displaystyle x\leq y}$ als ${\displaystyle y\leq x}$, dan ${\displaystyle x=y}$. Er kunnen in een verzameling met een totale orde of met een partiële orde daarom geen cykels voorkomen, maar in een verzameling met een totale preorde is binnen een equivalentieklasse elke rij elementen te sluiten tot een cirkel.