Eindige groep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een eindige groep een groep die een eindig aantal elementen heeft. Het aantal elementen van de groep wordt de orde van de groep genoemd. Sommige aspecten van de theorie van eindige groepen zijn in de twintigste eeuw in groot detail onderzocht, in het bijzonder de lokale theorie, en de theorie van de oplosbare groepen van de nilpotente groepen. Het is echter niet mogelijk de structuur van alle eindige groepen compleet te bepalen; daarvoor is het aantal mogelijke structuren te groot. Wel is men er in de twintigste eeuw in geslaagd een classificatie van eindige enkelvoudige groepen op te stellen. Deze eindige enkelvoudige groepen kunnen worden gezien als de bepaling van de "bouwblokken" voor alle eindige groepen, aangezien elke groep een compositiereeks bevat.

Dankzij het werk van de wiskundigen Chevalley en Steinberg is het begrip van eindige analoga van klassieke groepen en daaraan gerelateerde groepen in het tweede deel van de twintigste eeuw sterk toegenomen. Een zo'n familie van groepen wordt gevormd door de algemene lineaire groepen over eindige lichamen/velden. De groepentheoreticus J. L. Alperin heeft hierover het volgende geschreven dat "Het typische voorbeeld van een eindige groep is ${\displaystyle GL(n,q)}$, de algemene lineaire groep van ${\displaystyle n}$ dimensies over een lichaam/veld met ${\displaystyle q}$ elementen. De student die aan de hand van andere voorbeelden kennis maakt met het onderwerp wordt misleid."^[1]

Eindige groepen komen vaak naar voren bij beschouwing van de symmetrie van wiskundige of natuurkundige objecten, als deze objecten slechts een eindig aantal structuurbewarende transformaties toelaten. De theorie van de lie-groepen, die gezien kan worden als zich bezighoudend met "continue symmetrie", is sterk beïnvloed door de geassocieerde weyl-groepen. Dit zijn eindige groepen die worden gegenereerd door spiegelingen die aangrijpen op een eindigdimensionale euclidische ruimte. Eigenschappen van eindige groepen kunnen dus een rol spelen in onderwerpen als de theoretische natuurkunde.

1. ↑ Jonathan L. Alperin, Book review: B. Huppert and N. Blackburn Title: Finite groups (Eindige groepen), Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 10 (1984) 121, DOI:10.1090/S0273-0979-1984-15210-8