Functionaalanalyse

Binnen de wiskunde is functionaalanalyse het deelgebied van de analyse, dat zich bezighoudt met de studie van vectorruimten en operatoren, die op deze vectorruimten inwerken. De functionaalanalyse heeft zijn historische wortels in de studie van functieruimten, in het bijzonder transformaties van functies, zoals de fouriertransformaties, alsook in de studie van differentiaal- en integraalvergelijkingen, toegepast op functies van functies.

Het gebruik van het woord functionaal gaat terug op de variatierekening, wat een functie impliceert, waarvan het argument ook een functie is. De oudste problemen in de functionaalanalyse zijn de extremaalproblemen binnen de variatierekening. Het gaat er daarbij om een functie uit een gegeven klasse van functies te isoleren die een extreme (minimale of maximale) waarde van een of andere eigenschap bereikt.

Het gebruik van het woord in het algemeen wordt toegeschreven aan de Italiaanse wis- en natuurkundige Vito Volterra, terwijl de introductie en verdere uitwerking van de functionaalanalyse vooral te danken is aan een groep van Poolse wiskundigen rondom Stefan Banach.

Vanuit het moderne gezichtspunt wordt functionaalanalyse ook gezien als de veralgemening van de lineaire algebra naar oneindig-dimensionale vectorruimten, die zijn uitgerust met een topologie. De lineaire algebra houdt zich daarentegen voornamelijk bezig met eindig-dimensionale ruimten. Een belangrijk deel van de functionaalanalyse beslaat de uitbreiding van de maattheorie, de integraalrekening en de kansrekening naar oneindig-dimensionale ruimten, ook wel bekend als de oneindig-dimensionale analyse.