Fundamenteel domein

Een fundamenteel domein voor de groepswerking van een symmetriegroep op een ruimte ${\displaystyle R}$ is een samenhangend deel ${\displaystyle D}$ van ${\displaystyle R}$ waarvan de beelden van de groepswerking een partitie vormen. Dat houdt in dat ${\displaystyle D}$ van elke baan van de groep precies één punt bevat.

Het is een domein dat willekeurig "ingekleurd" kan worden bij het kiezen van een object dat ten minste de betreffende symmetrie heeft,^[1] het principe van een caleidoscoop. Het aantal punten van het fundamenteel domein kan worden gezien als het aantal vrijheidsgraden van objecten met de betreffende symmetrie.

De "kleur" van elk punt van het fundamenteel domein bepaalt de kleur van de baan van dit punt bij deze symmetriegroep. De banen vormen samen een partitie van de ruimte.

Een symmetriegroep heeft niet een eenduidig fundamenteel domein, want elk punt kan vervangen worden door een ander punt van zijn baan. Het eenvoudigst en meest voor de hand liggend is de keuze voor een aaneengesloten gebied van eenvoudige vorm. Er zijn dan nog steeds soms meerdere even eenvoudige mogelijkheden. De figuur toont het vooraanzicht van een bol met icosahedrale symmetrie, met daarbij de rotatie-assen en een fundamenteel domein. De verbindende grote cirkels geven aan waar de spiegelvlakken de bol snijden.

Bij discrete achirale symmetrie zijn er in 1D een of meer spiegelpunten, in 2D een of meer spiegellijnen en in 3D een of meer spiegelvlakken, met als verzamelnaam spiegel. Eventueel gaat het om glijspiegeling. Als het een eindige symmetriegroep is, is er geen glijspiegeling, en gaan de spiegels door een centraal punt. De spiegels verdelen de ruimte dan in zoveel vakken als de orde van de symmetriegroep. De eenvoudigste versie van het fundamenteel domein is zo'n vak inclusief de spiegeldelen die het vak begrenzen.

Bij chirale versies van deze symmetrieën is het fundamenteel domein twee keer zo groot. Bij bijvoorbeeld I_h is het hiervoor genoemde fundamenteel domein de 3D-sector tussen drie bij elkaar gelegen assen, van rotatiesymmetrie van orde 5, 3, 2. Voor de chirale versie vormen twee aanliggende vakken samen een fundamenteel domein, met als mogelijkheden de 3D-sector tussen drie bij elkaar gelegen assen van orde 5, 3, 3 of 5, 5, 3, of tussen vier bij elkaar gelegen assen van orde achtereenvolgens 5, 2, 3, 2. Bij chirale symmetrie bevatten de zijvlakken punten van dezelfde baan, en behoren daarom maar voor een deel tot het fundamenteel domein. Bij bijvoorbeeld alleen maar één as van rotatiesymmetrie is het fundamenteel domein beperkt tot het binnengebied, de as en een van de beide halfvlakken die het deel van de ruimte begrenzen.

1. ↑ "Kleur" staat voor de eigenschappen van punten die voor de symmetrie in aanmerking worden genomen. Voor objecten die niet de hele ruimte vullen kan het buiten het object liggen van een punt gerepresenteerd worden door het hebben van een achtergrondkleur.