Groep (wiskunde)

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een groep een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling ${\displaystyle G}$ en een binaire operatie, de groepsbewerking, die aan twee elementen van ${\displaystyle G}$ weer een element van ${\displaystyle G}$ toevoegt. De verzameling ${\displaystyle G}$ en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, de groepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking is gesloten en associatief, er is in de groep een neutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft een invers element. Een voorbeeld van een groep vormen de gehele getallen met optellen als operatie.

De axioma's gelden voor alle groepen, maar groepen onderling kunnen heel verschillend zijn. Zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten van objecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde.^[1][2]

Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begrip symmetrie. Een symmetriegroep beschrijft symmetrie-eigenschappen van een meetkundig object, dus bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten met daarbij als operatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continue lie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines. Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om symmetrieën in de moleculaire scheikunde en symmetrie in de natuurkunde, zoals de natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie, te begrijpen.

De studie van vergelijkingen heeft aan de basis van de groepentheorie gestaan. Évariste Galois was in de jaren 1830 een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussen polynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals de getaltheorie en de meetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals ondergroepen, factorgroepen en enkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt, haar groepsrepresentatie, zowel vanuit een theoretisch als een computationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van de eindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in de classificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is de meetkundige groepentheorie, die eindig gegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie.

1. ↑ Herstein, 1975, § 2, blz. 26
2. ↑ Hall, 1967, §1.1, blz. 1" "Het idee van een groep is er een dat de gehele zuivere en toegepaste wiskunde doordringt."