Gulden snede

Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 ${\displaystyle \varphi }$ e ${\displaystyle \pi }$
Verschillende representaties van de gulden snede ${\displaystyle \varphi }$
binair	1,1001 1110 0011 0111 011...
decimaal	1,6180 3398 8749 8948 482...[1]
hexadecimaal	1,9E3779 B97F 4A7C 15F3 9...
kettingbreuk	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$
algebraïsch	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

De gulden snede, sectio aurea of sectio divina, ook wel de verdeling in uiterste en middelste reden genaamd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen met een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met ${\displaystyle a}$ en het kleinste deel met ${\displaystyle b}$, dan is de verhouding van beide zo dat ${\displaystyle a:b=(a+b):a}$.

De bedoelde verhouding ${\displaystyle a/b}$ wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter ${\displaystyle \varphi }$ (phi); zoals hieronder aangetoond wordt, geldt:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618}$

Het getal is dus irrationaal, maar niet transcendent. Er geldt ook:

${\displaystyle \varphi =2\cos 36^{\circ }=2\cos({\tfrac {1}{5}}\pi \,\mathrm {rad} )}$

Hoewel de wiskundige eigenschappen van de gulden snede al in de oudheid werden bestudeerd, dateert de term "gulden snede" pas uit de jaren 30 van de 19e eeuw.

1. ↑ A001622 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de databank van rijen van gehele getallen. Gearchiveerd op 19 juni 2023.