Inwendig product

Het inwendige product, ook wel inproduct of scalair product genoemd, van twee vectoren is een scalair, dus het levert een getal op. Het is een begrip uit de lineaire algebra, maar ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$ gedefinieerd als:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos \theta }$

waarin ${\displaystyle \theta }$ de hoek tussen de vectoren is en ${\displaystyle |\mathbf {u} |}$ en ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ de normen van de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$ zijn. Men noteert het inproduct ook als:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} |\mathbf {v} \rangle }$

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$ elementen zijn van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, de ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$

en

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$

dan kan het inwendige product vastgelegd worden als:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\ldots +u_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}$

De vectoren ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$ staan loodrecht op elkaar, dan en slechts dan als hun inproduct gelijk is aan 0. Het inwendige product kan dus afhankelijk van de vectorruimte en context omgekeerd worden gebruikt om loodrecht mee te definiëren.

De hier gegeven vorm van het inwendige product heet het standaardinproduct, het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte. De hoek tussen de beide vectoren kan in een euclidische ruimte met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren worden gedefinieerd. Dat komt er op neer dat de definitie ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} |\ |\mathbf {v} |\cos \theta }$ in twee dimensies equivalent is met ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}}$ en in ${\displaystyle n}$ dimensies met ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+\dots +u_{n}v_{n}}$. Hierin is ${\displaystyle \theta }$ de hoek tussen ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

De definitie moet zo worden aangepast dat die in een vectorruimte algemeen geldig is, waarin het inwendige product is gedefinieerd. Zo ontstaat een inwendig-productruimte.