Keuzeaxioma

Het keuzeaxioma is een enigszins controversieel axioma uit de verzamelingenleer, dat in 1904 werd geformuleerd door Ernst Zermelo.^[1] Het keuzeaxioma zegt dat het, gegeven een oneindige verzameling^[2] van verzamelingen, altijd mogelijk is om uit elk van deze verzamelingen precies één element te kiezen, ook al is er geen keuzeregel gedefinieerd die bepaalt welk element uit ieder van deze verzamelingen gekozen moet worden. Preciezer geformuleerd:

Zij ${\displaystyle X}$ een oneindige verzameling van niet-lege verzamelingen ${\displaystyle V_{i}}$^[3] dan kan men uit iedere verzameling ${\displaystyle V_{i}\in X}$ een element kiezen, dat wil zeggen dat er een keuzefunctie ${\displaystyle f}$ bestaat, gedefinieerd op ${\displaystyle X}$, zodanig dat voor elke verzameling ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle X}$ geldt, dat ${\displaystyle f(V)}$ een element is van ${\displaystyle V}$.

of in formule

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\Longrightarrow \exists \left(f:X\rightarrow \bigcup X\ \right)\forall \left(V\in X\ \right):f(V)\in V\right]}$

Het keuzeaxioma wordt in tal van deelgebieden van de wiskunde gebruikt. Het heet een axioma omdat het niet kan worden bewezen uit de andere axioma's van de verzamelingenleer. Het is er echter ook niet mee in tegenspraak. Het is equivalent met een aantal stellingen, waaronder het lemma van Zorn en de welordeningsstelling. Elk van deze zou dus ook als axioma beschouwd kunnen worden, en het keuzeaxioma een stelling die op basis van dat axioma bewezen kan worden.

Het keuzeaxioma wordt niet vereist als er sprake is van een eindig aantal verzamelingen of als er wel een "keuzeregel" is gedefinieerd.

1. ↑ Ernst Zermelo, Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, Mathematische Annalen, 1904, vol 59, pag. 514–516. Gearchiveerd op 17 januari 2016.
2. ↑ Bij een eindige verzameling is het keuzeaxioma niet nodig
3. ↑ De ${\displaystyle V_{i}}$ zijn de namen van de verzamelingen in ${\displaystyle X}$, de index ${\displaystyle i}$ duidt niet op hun onderlinge ordening, omdat die er niet is.