Laplace-operator

De laplace-operator, ook wel laplaciaan genoemd, is een differentiaaloperator genoemd naar de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en aangeduid door het symbool ∆. In de natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van golven (golfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica in de laplace-vergelijking. In de kwantummechanica stelt de laplace-operator de kinetische energie voor in de schrödingervergelijking. De functies waarvoor de laplaciaan gelijk is aan nul, worden in de wiskunde harmonische functies genoemd.

Voor een scalaire functie ${\displaystyle f}$ op een ${\displaystyle n}$-dimensionale euclidische ruimte is de laplace-operator gedefinieerd door:

${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}$

Hierin staat ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}$ voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele ${\displaystyle x_{i}}$.

Als operator schrijft men daarom wel:

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}$.

Alternatief kan men schrijven:

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)}$

Ook kan de laplace-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla (∇):

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$