Logaritmische schaal

Bij een logaritmische schaal wordt niet de numerieke waarde zelf van een grootheid gegeven, maar een logaritme van de verhouding van de grootheid tot een referentiewaarde. De grootheid ${\displaystyle G}$ wordt niet direct als een veelvoud van de referentiewaarde ${\displaystyle G_{0}}$, de eenheid, uitgedrukt, maar als een bepaald niveau hierboven:

"niveau van" ${\displaystyle G=\log _{a}\left({\frac {G}{G_{0}}}\right)}$

Zo wordt bij de bel-schaal voor het geluidsniveau de gehoordrempel als referentiewaarde met niveau 0 gebruikt en wordt het getal 10 als het grondtal van de logaritme gebruikt. Een geluidsniveau van 4,5 bel betekent dus een geluidsintensiteit van 10^4,5 = 31623 keer zo sterk als de gehoordrempel. De aanduiding bel wordt wel gehanteerd als pseudo-eenheid. Daaruit is de meer gebruikelijke decibelschaal met pseudoeenheid decibel (dB) ontstaan. Een niveau van 45 dB komt dan overeen met 4,5 bel. Eigenlijk hanteert de decibelschaal als referentiewaarde, net als de bel-schaal, de gehoordrempel, maar als grondtal van de gebruikte logaritme het getal 10^0,1 = 1,258925... Wordt de natuurlijke logaritme gebruikt, dan spreekt men van neperschaal. Andere logaritmische schalen zijn onder meer:

• magnitude voor de helderheid van een hemellichaam, ${\displaystyle a=10^{-2/5}}$
• de schaal van Richter voor de sterkte van een aardbeving, ${\displaystyle a=10^{3/2}}$
• de pH-schaal voor de zuurgraad, ${\displaystyle a=10^{-1}}$
• de cent voor de toonafstand (frequentieverhouding) in muziek, ${\displaystyle a=2^{1/1200}}$
• de 12 tonen per octaaf in gelijkzwevende stemming (100 cent per toon), ${\displaystyle a=2^{1/12}}$; dit worden ook wel "halve toonafstanden" genoemd; met betrekking tot "hele toonafstanden" (200 cent) geldt ${\displaystyle a=2^{1/6}}$
• het reproductiegetal, de snelheid van besmetting in een populatie

Logaritmische schalen geven relatieve veranderingen weer. Stijgt een grootheid ${\displaystyle G}$ relatief met 10%, dan is de nieuwe waarde ${\displaystyle 1{,}10\,G}$. Op een logaritmische schaal betekent deze stijging een toename van

${\displaystyle \log(G/G_{0})}$

tot

${\displaystyle \log(1{,}10\ G/G_{0})=\log(G/G_{0})+\log(1{,}10)}$,

dus een toename met ${\displaystyle \log(1{,}10)}$, ongeacht het uitgangsniveau. Omdat veel zintuiglijke waarnemingen gelijke relatieve toenamen als gelijk ervaren (wet van Weber), zijn logaritmische schalen een geschikt middel om grootheden zo uit te drukken dat hun waarden met onze ervaring overeenkomen. Ook anderszins is het soms handiger om gelijke factoren in toename weer te geven als gelijke toename in niveau. Verdubbeling van waarde betekent in dB-schaal een toename van niveau met ca. 3,01 dB (immers ${\displaystyle 2=10^{3{,}01/10}}$).

In de bovenstaande grafiek van de populatiegroei in Engeland is de verhouding tussen 2 miljoen en 5 miljoen (2,5) gelijk aan de verhouding tussen 20 miljoen en 50 miljoen (ook 2,5). De logaritmische afstand tussen 2 miljoen en 5 miljoen is daarom hetzelfde als de afstand tussen 20 miljoen en 50 miljoen.

Wanneer de logaritme met het grondtal 10 wordt gebruikt (¹⁰log), dan is elke stap ter grootte 1 op de schaal 10 keer zo groot als de vorige. Een schaal van 1, 2, 3 betekent dus in waarden: 10, 100, 1000.