Maat (wiskunde)

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een maat intuïtief gesproken een afbeelding die een grootte, volume of kans toekent aan objecten. Het resultaat is steeds positief of eventueel 0. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling een systematische manier om aan elke geschikte deelverzameling een getal toe te kennen dat kan worden gezien als de grootte van deze deelverzameling. In die zin is een maat een veralgemening van de begrippen lengte, oppervlakte en volume. Een belangrijk voorbeeld is de lebesgue-maat op een euclidische ruimte die de conventionele begrippen lengte, oppervlakte en volume van de euclidische meetkunde aan geschikte deelverzamelingen van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\ n=1,2,3,\ldots ,}$ toekent. De lebesgue-maat van bijvoorbeeld het interval [0,1] in de reële getallen is zijn lengte met de waarde 1.

Niet iedere functie die een niet-negatief reëel getal of de waarde oneindig toekent aan de deelverzamelingen van een verzameling, kan fungeren als maat. Een belangrijke eigenschap van een maat is de sigma-additiviteit, die stelt dat de maat van de vereniging van een rij disjuncte deelverzamelingen gelijk is aan de som van de maten van de afzonderlijke deelverzamelingen. In het algemeen is het echter onmogelijk om op consistente wijze een maat te associëren met elke deelverzameling van een gegeven verzameling, en tegelijkertijd ook te voldoen aan de andere eisen die aan een maat gesteld worden. Dit probleem werd opgelost door een maat slechts te definiëren op een geschikte deelcollectie van alle deelverzamelingen; de deelverzamelingen waarop de maat wordt gedefinieerd, worden meetbaar genoemd. Zij dienen een sigma-algebra te vormen, wat betekent dat de verenigingen, doorsneden en complementen van rijen van meetbare deelverzamelingen ook meetbaar zijn. Niet-meetbare verzamelingen in een euclidische ruimte, waarop de lebesgue-maat niet consequent kan worden gedefinieerd, zijn per definitie zo complex dat zij bijna onbegrijpelijk zijn, er is in zekere zin een ondoorzichtige mix van de verzameling en zijn complement. Men kan stellen dat hun bestaan een niet-triviaal gevolg is van het keuzeaxioma.

Maattheorie werd in opeenvolgende fasen in de late 19e en de vroege 20e eeuw tot ontwikkeling gebracht door onder andere Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon en Maurice René Fréchet. De belangrijkste toepassingen van maten zijn in de grondslagen van de lebesgue-integraal en in Andrei Kolmogorovs axiomatisering van de kansrekening. In de integraalrekening staat het specificeren van een maat het toe om integralen te definiëren op ruimten die algemener zijn dan deelverzamelingen van de euclidische ruimte. Verder zijn integralen met betrekking tot de lebesgue-maat op de euclidische ruimten algemener en hebben zij een rijkere theorie dan hun voorganger, de riemann-integraal. De kansrekening bestudeert maten die aan de gehele ruimte de maat 1 toewijzen, en beschouwt meetbare deelverzamelingen daarvan als gebeurtenissen, waarvan de kans door de maat wordt gegeven.