Modulair rekenen

Modulair rekenen, of rekenen modulo een getal, is een vorm van geheeltallig rekenen met een getal dat als bovengrens fungeert, de modulus. Een typisch voorbeeld is de klok waarop modulo 12, of modulo 24, gerekend wordt. In het geval van modulo 12: als het bijvoorbeeld 6 uur is, dan staat de klok 8 uur later niet op 14, maar op 14 − 12 = 2 uur.

Bij modulair rekenen met modulus ${\displaystyle m}$ of rekenen modulo ${\displaystyle m}$ wordt gerekend met de getallen ${\displaystyle 0,1,\ldots ,m-1}$, waarna niet ${\displaystyle m}$ volgt maar weer opnieuw met 0 begonnen wordt. De ${\displaystyle m}$ getallen 0 tot en met ${\displaystyle m-1}$ staan als het ware in een kring. Het resultaat van een berekening modulo ${\displaystyle m}$ is de rest van het resultaat na geheeltallige deling door de modulus ${\displaystyle m}$. De normale definities van optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt, maar als het resultaat groter is dan of gelijk aan ${\displaystyle m}$ wordt net zo vaak ${\displaystyle m}$ afgetrokken tot het resultaat weer kleiner is dan ${\displaystyle m}$. Getallen die modulo ${\displaystyle m}$ gelijk zijn, die dus een veelvoud van ${\displaystyle m}$ van elkaar verschillen, noemt men congruent modulo ${\displaystyle m}$, genoteerd met het symbool ${\displaystyle \equiv }$. Bijvoorbeeld

${\displaystyle 7\equiv 2{\pmod {5}}}$

De verzameling getallen waarmee modulo ${\displaystyle m}$ gerekend wordt, wordt aangeduid als ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$, naar het symbool ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dat de verzameling gehele getallen aanduidt.