Orthonormale basis

In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte met inwendig product, bestaande uit de vectoren ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }$, een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is. Dat houdt in dat de vectoren uit de basis onderling orthogonaal zijn en elk de lengte 1 heeft. Er geldt dus dat voor elke ${\displaystyle e_{i}}$ en ${\displaystyle e_{j}}$:

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ als ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{i}\|^{2}=1}$

Anders geformuleerd: ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$ (de Kronecker-delta).

In deze relaties is ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ het inwendige product, dat ook wel genoteerd wordt met ${\displaystyle \cdot }$.

Omgekeerd geldt dat als een basis van een vectorruimte per definitie als orthonormaal wordt beschouwd, dit een inwendig product induceert waarvoor

${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$,

namelijk het standaardinproduct

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y_{i}}}}$

met ${\displaystyle x_{i}}$ en ${\displaystyle y_{i}}$ de coördinaten ten opzichte van de basis.