Permutatiegroep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep ${\displaystyle G}$, waarvan de elementen permutaties zijn van de elementen van een verzameling ${\displaystyle M}$. Een permutatie is een bijectie tussen ${\displaystyle M}$ en zichzelf. De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties. De groep van alle permutaties van ${\displaystyle M}$ heet de symmetrische groep van ${\displaystyle M}$. Deze kan worden geschreven als ${\displaystyle \mathrm {Sym} (M)}$. Aangezien ${\displaystyle \mathrm {Sym} (M)}$ alle permutaties van ${\displaystyle M}$ bevat, is iedere permutatiegroep over ${\displaystyle M}$ een ondergroep van ${\displaystyle \mathrm {Sym} (M)}$.

Als het alleen gaat om de groepsstructuur, is bij een eindige verzameling alleen het aantal elementen van belang. In dat geval, of als de verzameling uit de context duidelijk is, wordt de symmetrische groep van ${\displaystyle n}$ elementen aangeduid met ${\displaystyle S_{n}}$.

De theorie van de permutatiegroepen kent toepassingen in de studie van symmetrieën, de combinatoriek en veel andere takken van de wiskunde, de natuurkunde en de scheikunde.