Priemgetal

Een priemgetal is een natuurlijk getal, groter dan 1,^[a] dat slechts twee natuurlijke getallen als deler heeft, namelijk 1 en zichzelf. Het kleinste priemgetal is dus 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers. Het volgende is 3, met alleen de delers 1 en 3. Het getal 4 is geen priemgetal, want het heeft behalve 1 en 4 ook 2 als deler. Een getal dat groter dan 1 is en geen priemgetal, heet een samengesteld getal. Priemgetallen vormen een belangrijk onderwerp in de getaltheorie.

De eerste 30 priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 en 113.^[1]

Priemgetallen werden reeds door de oude Grieken bestudeerd. Er zijn oneindig veel priemgetallen. Het bewijs hiervoor wordt gegeven door de stelling van Euclides. De oudste methode om priemgetallen te vinden is de zeef van Eratosthenes.

Er is geen formule bekend die alle priemgetallen, maar geen samengestelde getallen oplevert. De verdeling van priemgetallen, dat wil zeggen, het statistische gedrag van grote aantallen priemgetallen, kan echter wel worden gemodelleerd. Het eerste resultaat in die richting was de priemgetalstelling, die, ruw gesproken, stelt dat de kans dat een gegeven, willekeurig gekozen getal ${\displaystyle n}$ een priemgetal is, omgekeerd evenredig is met het aantal cijfers, of de logaritme van ${\displaystyle n}$. Deze stelling is aan het einde van de 19e eeuw bewezen. De onbewezen Riemann-hypothese, die van 1859 dateert, impliceert een verfijnde verklaring hiervan met betrekking tot de verdeling van de priemgetallen.

Ondanks intensieve studie staan veel fundamentele vragen met betrekking tot priemgetallen nog steeds open. Zo zijn bijvoorbeeld het vermoeden van Goldbach, dat beweert dat elk even getal groter dan twee de som is van twee priemgetallen, en het vermoeden van de priemtweelingen, dat zegt dat er oneindig veel priemgetaltweelingen (paren van priemgetallen, waarvan het verschil gelijk is aan twee) moeten bestaan, al meer dan een eeuw onopgelost, ondanks de ogenschijnlijke eenvoud van deze uitspraken.

Priemgetallen worden toegepast in verschillende delen van de informatietechnologie, onder andere bij het beveiligen van digitale informatie, door middel van cryptografie. Met behulp van de priemgetaltest wordt bepaald dat een getal een priemgetal is. In de asymmetrische cryptografie wordt bijvoorbeeld gebruikgemaakt van de moeilijkheid om grote getallen in hun priemfactoren te ontbinden. De zoektocht naar extreem grote priemgetallen, vaak met behulp van distributed computing, heeft de studie van de priemgetallen gestimuleerd. Begin 2013 bestond het grootst bekende priemgetal uit 17 425 170 cijfers.^[2] In 2018 werd het tot nu toe grootste priemgetal ontdekt, dat volledig uitgeschreven uit 24 862 048 cijfers bestaat.^[3]

Citefout: Er bestaat een label <ref> voor de groep "kleine-letter", maar er is geen bijbehorend label <references group="kleine-letter"/> aangetroffen

1. ↑ rij A000040 in OEIS
2. ↑ (en) Website Great Internet Mersenne Prime Search
3. ↑ We hebben een nieuw recordpriemgetal, De Standaard, 28 december 2018