Projectieve meetkunde

In de wiskunde is projectieve meetkunde een meetkunde zonder metriek. Ze vond haar oorsprong vroeg in de 19e eeuw in de principes van lijnperspectief in de beeldende kunst.

Projectieve meetkunde is de studie van meetkundige eigenschappen die invariant zijn onder projectieve transformaties. Dit betekent dat, in vergelijking met elementaire meetkunde, het object van projectieve meetkunde niet de gewone ruimte is, maar een projectieve ruimte en er een geselecteerd aantal fundamentele meetkundige begrippen zijn. Projectieve ruimten van een bepaalde dimensie bestaan uit meer punten, dan de overeenkomstige euclidische ruimte, en er zijn meetkundige transformaties toegestaan die de extra punten, de zogenaamde “punten op oneindig”, naar traditionele punten verplaatsen, en vice versa. De belangrijkste eigenschappen in de projectieve meetkunde zijn de eigenschappen die betrekking hebben op dit nieuwe idee van transformaties die verder reiken dan kan worden uitgedrukt door affiene transformaties.

In de projectieve meetkunde kan niet op dezelfde manier over hoeken gesproken worden als in de euclidische meetkunde. Hoeken zijn een voorbeeld van een begrip dat niet invariant is onder projectieve transformaties, zoals duidelijk te zien is bij perspectieftekenen. Een ander verschil met de elementaire meetkunde is dat parallelle lijnen, op geschikte manier gedefinieerd in de projectieve meetkunde, een punt op oneindig als snijpunt hebben. Ook dit begrip heeft een intuïtieve basis, denk aan spoorrails die in een perspectivische tekening aan de horizon bij elkaar komen. Zie het artikel projectieve vlak voor de basisbeginselen van de projectieve meetkunde in twee dimensies.

Hoewel de ideeën eerder beschikbaar waren, vond de ontwikkeling van de projectieve meetkunde vooral plaats in de negentiende eeuw. Een enorme hoeveelheid onderzoek maakte de projectieve meetkunde in de 19e eeuw tot het meest representatieve gebied van de meetkunde. Dit was de theorie van de complexe projectieve ruimte, aangezien de gebruikte coördinaten (homogene coördinaten) complexe getallen waren. Een aantal belangrijke onderdelen van de meer abstracte wiskunde (met inbegrip van de invariantentheorie, de Italiaanse school van de algebraïsche meetkunde en Felix Kleins Erlanger programma, dat aan de basis stond van de klassieke groepen) bouwde voort op de projectieve meetkunde. Het was onder de vlag van de synthetische meetkunde ook een onderwerp met een groot aantal beoefenaars om eigen wille. Een ander veld dat is voortgekomen uit de axiomatische studie van de projectieve meetkunde is de eindige meetkunde.

Het gebied van de projectieve meetkunde is heden ten dage onderverdeeld in vele onderzoeksdeelgebieden. Twee voorbeelden zijn de projectieve algebraïsche meetkunde (de studie van projectieve variëteiten) en de projectieve differentiaalmeetkunde (de studie van differentiaalinvarianten van de projectieve transformaties).