Repeterende breuk

Een repeterende breuk, ook repeterende decimale breuk of periodieke (decimale) breuk, is een breuk die niet als een echte decimale breuk te schrijven is. De naam slaat op het feit dat in de fractie (het deel achter de komma) een zichzelf steeds herhalende rij van 1 of meer cijfers voorkomt. Deze rij cijfers heet het repeterende (of periodieke) gedeelte.

Dat elke breuk eindig of repeterend is, valt te beredeneren uit het feit dat er bij een staartdeling maar een eindig aantal mogelijkheden is voor de rest: 0 tot en met de noemer min 1. Als de rest op enig moment 0 wordt, is de breuk een eindige breuk. Als de rest nooit 0 wordt, ontstaat na maximaal de noemer min 1 cijfers een rest die al eerder voorgekomen is. Daarna gaat het patroon zichzelf herhalen. De lengte van het repeterende gedeelte is dus maximaal de noemer min 1.

In de normale schrijfwijze wordt de repeterende breuk afgerond, wat wil zeggen dat alleen een bepaald aantal cijfers wordt genoteerd. Zo wordt 2/3 afgerond op:

• 2 decimalen als 0,67
• 5 decimalen als 0,66667

Een andere schrijfwijze is die waarbij men laat zien wat het repeterende gedeelte is. Dit doet men door een streep te zetten door het eerste cijfer van het repeterende gedeelte en door het laatste.

${\displaystyle 1/3=0{,}3\!\!\!/}$

${\displaystyle 11/35=0{,}31\!\!\!/42857\!\!\!/}$

Ook wordt het repeterende deel wel voorzien van een streep (de vinculum genoemd, van Latijn: vincio, binden, boeien) boven of onder de cijfers:

${\displaystyle 1/3=0{,}{\overline {3}}}$

${\displaystyle 11/35=0{,}3{\overline {142857}}}$

${\displaystyle 11/35=0{,}3{\underline {142857}}}$

of tussen haken (rechte of ronde) gezet:

${\displaystyle 1/3=0{,}[3]}$

${\displaystyle 11/35=0{,}3[142857]}$

Ander voorbeelden zijn:

${\displaystyle 2/3=0{,}{\overline {6}}=0{,}666666\ldots }$

${\displaystyle 1/7=0{,}{\overline {142857}}=0{,}14285714285714\ldots }$

${\displaystyle 7/30=0{,}2{\overline {3}}=0{,}2333333\ldots }$