Tetratie

Niet te verwarren met Titratie

Tetratie is de operatie van het herhaald machtsverheffen, waarbij het resultaat van een machtsverheffing steeds wordt gebruikt als exponent bij de volgende, terwijl het grondtal steeds gelijk blijft. Tetratie is een rekenkundige bewerking van de vierde orde en kan in termen van machtsverheffen als volgt worden gedefinieerd:

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b:={}^{b}a:=\left.a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}\right\}b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{b}}$

waarbij de machtsverheffingen zoals gebruikelijk van rechts naar links worden uitgevoerd.

De samengestelde bewerking is hier geschreven als ${\displaystyle b-1}$ keer machtsverheffen met grondtal ${\displaystyle a}$, beginnend bij ${\displaystyle a}$, maar gelijkwaardig is het ${\displaystyle b}$ keer machtsverheffen met grondtal ${\displaystyle a}$, beginnend bij ${\displaystyle 1}$ uiterst rechts:

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b:={}^{b}a:=\left.a^{a^{.^{.^{.^{a^{1}}}}}}\right\}b=a\underbrace {\,\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a\uparrow \,} _{b}1}$

Vergelijk machtsverheffen, dat herhaald vermenigvuldigen is met factor ${\displaystyle a}$, beginnend bij ${\displaystyle a}$ of 1, en vermenigvuldigen, dat herhaald optellen is met term ${\displaystyle a}$, beginnend bij ${\displaystyle a}$ of 0. De belangrijkste nieuwigheid is dat de volgorde van de machtsverheffingen een rol speelt, omdat de bewerking machtsverheffing in tegenstelling tot de optelling en de vermenigvuldiging niet associatief is.

De notatie ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$ is een relatief eenvoudige versie van Knuths pijlomhoognotatie met "slechts" twee pijlen, terwijl de notatie ${\displaystyle {}^{b}a}$ als Ruckers notatie bekendstaat. Bij Ruckers notatie dient er zorg voor gedragen te worden dat er geen verwarring ontstaat bij uitdrukkingen van de vorm ${\displaystyle a^{b}c}$, want behalve in speciale gevallen geldt namelijk dat ${\displaystyle \left(a^{b}\right)c\neq a\left({}^{b}c\right)}$.

Deze notatie wordt in andere talen ook wel de toren van machten of machtentoren genoemd.