Totale preorde

In de ordetheorie, een onderdeel van de wiskunde, heet een tweeplaatsige relatie ${\displaystyle R}$ op een verzameling ${\displaystyle X}$ een totale preorde als het een transitieve totale relatie is. Deze wordt vaak genoteerd met het symbool ${\displaystyle \lesssim }$. De strikte totale preorde '<' van een totale preorde is het complement van de inverse ervan, en tevens de inverse van het complement, dus met ${\displaystyle x<y}$ gedefinieerd als niet ${\displaystyle y\lesssim x}$. De strikte totale preorde is een vorm van de strikte zwakke orde.

Een functie ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ met ${\displaystyle Y}$ een totaal geordende verzameling bepaalt een totale preorde op ${\displaystyle X}$ door ${\displaystyle x\lesssim y}$ te nemen als ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$. Er geldt ${\displaystyle x<y}$ als ${\displaystyle f(x)<f(y)}$ en ${\displaystyle x\sim y}$ als ${\displaystyle f(x)=f(y)}$. Zoals de notatie suggereert geldt dus ${\displaystyle x\lesssim y}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle x<y}$ of ${\displaystyle x\sim y}$.

• Als deze ${\displaystyle f}$ met een strikt stijgende functie ${\displaystyle g\colon Y\to Y}$ wordt gecombineerd, dan bepaalt de nieuwe functie ${\displaystyle g\circ f}$ dezelfde totale preorde.
• Als ${\displaystyle f}$ een injectieve functie is kan het teken ${\displaystyle \sim }$ vervangen worden door een gelijkteken, is de totale preorde een totale orde en de strikte zwakke orde een strikte totale orde.

Gegeven een totale preorde ${\displaystyle \lesssim }$ kunnen we de equivalentierelatie ${\displaystyle \sim }$ definiëren, met ${\displaystyle x\sim y}$ als ${\displaystyle x\lesssim y}$ en ${\displaystyle y\lesssim x}$. Deze equivalentierelatie betekent in termen van preferenties geen voorkeur bij de keuze tussen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$. De preorde ${\displaystyle \lesssim }$ leidt tot een relatie op de equivalentieklassen (${\displaystyle [a]_{\sim }\leq [b]_{\sim }}$ als ${\displaystyle a\lesssim b}$) en deze relatie is een totale orde.