Traagheidsmoment

Het (massa)traagheidsmoment geeft de mate van verzet tegen verandering van hoeksnelheid van een lichaam met een zekere massa.

Een object met een zekere uitgebreidheid ten opzichte van een gekozen rotatie-as, verzet zich tegen verandering van de hoeksnelheid om die as. De mate waarin dit gebeurt wordt uitgedrukt in het (massa)traagheidsmoment ten opzichte van die rotatie-as.

Om de snelheid van draaien te veranderen moet een krachtmoment worden uitgeoefend (soms draaimoment genoemd). De verhouding tussen dit krachtmoment en de resulterende hoekversnelling is het massatraagheidsmoment ten opzichte van de rotatie-as.

${\displaystyle {\vec {M}}=I{\vec {\alpha }}}$

Daarin is:

• ${\displaystyle {\vec {M}}}$ het krachtmoment, een vector (in Nm)
• ${\displaystyle I}$ het massatraagheidsmoment, een getal (in kg·m²)
• ${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$ de hoekversnelling, een vector (in rad/s²)

Het traagheidsmoment is het analogon (overeenkomstig begrip) van het begrip 'trage massa', dat de mate van verzet tegen lineaire versnelling uitdrukt, zoals weergegeven in de tweede wet van Newton: ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$. Het traagheidsmoment is zowel afhankelijk van de totale massa als van de verdeling van deze massa; hoe verder een deel van de massa verwijderd is van de rotatie-as, hoe groter de bijdrage van dat deel aan het traagheidsmoment. Voor puntmassa's ${\displaystyle m_{i}}$ op respectievelijk afstanden ${\displaystyle r_{i}}$ van de rotatie-as is het traagheidsmoment ${\displaystyle I}$ de som van de aparte traagheidsmomenten:

${\displaystyle I=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$

Nu zijn puntmassa's meestal slechts idealiseringen en wordt een object beschreven door zijn massaverdeling ${\displaystyle m({\vec {r}})}$ (de massa als functie van de plaats ${\displaystyle {\vec {r}}}$) of door de dichtheid ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$. Het traagheidsmoment is dan gegeven door:

${\displaystyle I=\iiint _{V}r_{\perp }^{2}\mathrm {d} m=\iiint _{V}r_{\perp }^{2}\rho ({\vec {r}})\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}}$

waarbij ${\displaystyle r_{\perp }}$ de loodrechte afstand tot de draaias voorstelt en ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$ de massadichtheid is.

Algemeen geldt:

${\displaystyle I=\iiint _{V}[R({\vec {r}})]^{2}\rho (r)\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}}$

waarbij ${\displaystyle R({\vec {r}})}$ de afstand is van punt ${\displaystyle {\vec {r}}}$ tot de draaias.