Baza standardowa

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1),}$

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$

Powyższe wektory ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$ wskazują odpowiednio kierunki osi ${\displaystyle x,y,z.}$ Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\},}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},}$

${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \},}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \}.}$

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$

gdzie skalary ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$ są składowymi wektora ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

W ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje ${\displaystyle n}$ różnych wektorów bazy standardowej

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:i=1,\dots ,n\},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ oznacza wektor z ${\displaystyle 1}$ na ${\displaystyle i}$-tej współrzędnej i ${\displaystyle 0}$ wszędzie indziej.