Element odwracalny

Element odwracalny – dla danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego określonego w pewnej strukturze algebraicznej element, dla którego istnieje element do niego odwrotny względem tego działania.

Innymi słowy, jeżeli zbiór ${\displaystyle A}$ wyposażony jest w działanie ${\displaystyle \heartsuit \colon A\times A\to A,}$ to element ${\displaystyle a\in A}$ jest odwracalny, jeśli istnieje taki element ${\displaystyle b\in A,}$ dla którego spełnione są równości

${\displaystyle a\heartsuit b=\iota }$ oraz ${\displaystyle b\heartsuit a=\iota ,}$

gdzie ${\displaystyle \iota }$ jest elementem neutralnym działania ${\displaystyle \heartsuit .}$

Jeżeli spełniony jest tylko pierwszy warunek, to element ${\displaystyle a\in A}$ nazywa się prawostronnie odwracalnym, jeżeli wyłącznie drugi, to nazywa się go lewostronnie odwracalnym. Łączność działania ${\displaystyle \heartsuit }$ gwarantuje, że elementy odwracalne jednostronnie są odwracalne obustronnie, z kolei przemienność tego działania sprawia, że elementy tak lewo-, jak i prawostronnie odwracalne są odwracalne obustronnie.