Funkcja dzeta Riemanna

Funkcja zeta Riemanna (funkcja dzeta Riemanna, funkcja ${\displaystyle \zeta }$) – zespolona funkcja specjalna zdefiniowana w postaci szeregu

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

dla dowolnej liczby zespolonej ${\displaystyle s}$ o części rzeczywistej ${\displaystyle \Re (s)>1}$ oraz jako przedłużenie analityczne powyższego szeregu dla pozostałych liczb zespolonych^[1].

Funkcję ${\displaystyle \zeta }$ po raz pierwszy zdefiniował Leonhard Euler w XVIII w., jednak rozważał jej wartości jedynie dla zmiennych rzeczywistych. Dopiero Bernhard Riemann w artykule z listopada 1859 r. O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości (niem. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) rozszerzył definicję Eulera na wszystkie liczby zespolone, udowodnił meromorficzność funkcji, przedstawił i udowodnił równanie funkcyjne opisujące funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej i wykazał zależność między rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych. Artykuł ten zawierał również sformułowanie hipotezy Riemanna, określanej jako najważniejszy problem otwarty matematyki^[2].

Funkcja dzeta znajduje bardzo wiele zastosowań w analitycznej teorii liczb.