Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcja wzajemnie jednoznaczna, bijekcja – wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, czyli funkcja będąca jednocześnie iniekcją i suriekcją (funkcją różnowartościową i funkcją „na”). Równoważnie:

• funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna^[1] – również i ona jest bijekcją;
• przy bijekcji przeciwobraz każdego singletonu również jest singletonem^{[potrzebny przypis]}.

Bijekcje pozwalają zdefiniować rozmaite relacje równoważności między obiektami, m.in.:

• równoliczności zbiorów w kombinatoryce i teorii mnogościi,
• izomorfizmu struktur w algebrze abstrakcyjnej i teorii kategorii;
• homeomorfizmu, izometrii i dyfeomorfizmu przestrzeni w topologii.

Duże znaczenie odgrywają też bijekcje endofunkcyjne, tj. przekształcające zbiór w siebie (f:X→X). Bywają nazywane permutacjami – zwłaszcza dla zbiorów skończonych – i tworzą struktury znane jako grupy symetryczne; przekształcenia te pozwalają zdefiniować symetrię figur i innych obiektów. Bijekcje zbioru w siebie po nałożeniu dodatkowych warunków tworzą podgrupy grup symetrycznych, np. grupy alternujące, grupy automorfizmów, izometrii czy dyfeomorfizmów. Szczególnym rodzajem endobijekcji są też inwolucje i inne funkcje torsyjne (skończonego rzędu).

Termin bijekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki^[2].