Katenoida

Katenoida – powierzchnia obrotowa utworzona przez obrót linii łańcuchowej dookoła osi odciętych^[1].

Jest ona opisana przez równania parametryczne w prostokątnym układzie współrzędnych:

${\displaystyle x=c\cosh \left({\frac {v}{c}}\right)\cos u,}$

${\displaystyle y=c\cosh \left({\frac {v}{c}}\right)\sin u,}$

${\displaystyle z=v,}$

lub w układzie współrzędnych walcowych:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=c\cosh \left({\frac {v}{a}}\right)\\\phi &=u\\z&=v\end{aligned}}}$

gdzie parametry przyjmują wartości z przedziałów:

${\displaystyle 0\leqslant u<2\pi ,}$

${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$

zaś ${\displaystyle c}$ jest stałą, współczynnikiem kształtu.

W 1744 Leonhard Euler odkrył, że katenoida ma najmniejsze pole wśród powierzchni rozpiętych na dwóch zadanych okręgach^[2].