Liczby p-adyczne

W matematyce ${\displaystyle p}$-adyczny system liczbowy dla dowolnej liczby pierwszej ${\displaystyle p}$ stanowi rozszerzenie arytmetyki liczb wymiernych w sposób istotnie różny od rozszerzenia do liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Rozszerzenie to uzyskuje się przez alternatywną interpretację pojęcia „bliskości” czy też wartości bezwzględnej. W szczególności, dwie liczby ${\displaystyle p}$-adyczne są bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez wysoką potęgę ${\displaystyle p.}$ Ta własność sprawia, że liczby ${\displaystyle p}$-adyczne dobrze służą do opisu kongruencji. Okazuje się, że dzięki temu znajdują zastosowanie w teorii liczb, w tym w słynnym dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata dokonanym przez Andrew Wilesa.

Liczby ${\displaystyle p}$-adyczne zostały po raz pierwszy opisane przez Kurta Hensela w 1897 roku, chociaż niejawne odwołania do nich można znaleźć także we wcześniejszych pracach Kummera. Hensel zajmował się nimi, gdyż chciał przenieść techniki stosowane normalnie wobec szeregów potęgowych do teorii liczb. Obecnie wpływ liczb ${\displaystyle p}$-adycznych wykracza szeroko poza samą teorię liczb. Dla przykładu, analiza p-adyczna jest alternatywą dla klasycznego rachunku różniczkowego i całkowego.

Formalniej, dla ustalonej liczby ${\displaystyle p,}$ ciało ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$ liczb ${\displaystyle p}$-adycznych jest uzupełnieniem liczb wymiernych. Zadana jest na nim topologia pochodząca od metryki, która to zdefiniowana jest w terminach ${\displaystyle p}$-adycznego rzędu, alternatywnej waluacji na liczbach wymiernych. Ta przestrzeń metryczna jest zupełna, to znaczy każdy ciąg Cauchy’ego zbiega do pewnego punktu w ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$ Umożliwia to rozwój analizy nad nowym ciałem. Właśnie interakcja analitycznej oraz algebraicznej struktury sprawia, że liczby ${\displaystyle p}$-adyczne są takie użyteczne.