Oś liczbowa – interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych
Liczby rzeczywiste – uogólnienie liczb wymiernych na wszystkie liczby odpowiadające punktom na osi liczbowej [1] , zwanej też prostą rzeczywistą. Liczby rzeczywiste pozwalają opisać wszelkie odległości , liczby do nich przeciwne oraz inne wielkości skalarne . Zbiór liczb rzeczywistych oznacza się symbolem
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[1] lub
R
.
{\displaystyle \mathbf {R} .}
Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać ułamkiem dziesiętnym , przy czym nie musi on mieć takich własności, jak dla liczb wymiernych – może jednocześnie nie być skończony ani ostatecznie okresowy [1] . Ta odpowiedniość zachodzi też w drugą stronę – każdy ułamek dziesiętny nieskończony odpowiada jakiejś liczbie rzeczywistej, przez co takie ciągi cyfr mogą być użyte do definiowania liczb rzeczywistych[1] .
Zrozumienie, że ułamki zwykłe – tj. stosunki dwóch liczb naturalnych – nie wystarczą do opisu niektórych długości , przyniosła starożytność [2] . Wtedy zakon Pitagorejczyków udowodnił, że pierwiastek kwadratowy z dwójki (
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
) jest niewymierny [3] . Czasy nowożytne przyniosły rozwój matematyki wyższej , a wraz z nią:
nazwę liczby rzeczywiste , użytą w kontraście do liczb urojonych [4] [5] ;
formalne, ścisłe definicje liczb rzeczywistych, podane niżej;
opisy własności tego zbioru, np. jego mocy ;
rozmaite uogólnienia ;
inne obiekty, które nazwano liczbami, mimo że nie leżą na osi rzeczywistej, wymienione w dalszej sekcji.
Za pomocą zbioru liczb rzeczywistych definiuje się:
↑ a b c d Liczby rzeczywiste , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
↑ Liczby niewymierne , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-26] .
↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Irrational Number , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2023-11-26].
↑ Jeff Miller, Real number [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R) (ang. ) , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews , mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-11-26].
↑ Jeff Miller, Imaginary [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) (ang. ) , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews , mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-11-26].