Liczby wymierne

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera^[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek^[2]. Symbolicznie:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.}$

Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych ${\displaystyle (\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} )}$ umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:

• porządek liczb wymiernych jest gęsty – między każdą parą liczb wymiernych istnieje inna liczba tego typu^[1];
• liczby wymierne można zapisywać ułamkami dziesiętnymi – są one skończone lub okresowe^[1];
• pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być wymierny; przykładowo pierwiastek kwadratowy z dwóch jest niewymierny^[3]: ${\displaystyle {\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q} .}$

Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe^[3]. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:

• konstruuje je za pomocą liczb całkowitych;
• opisuje dalsze własności, opisane niżej;
• wprowadza inne uogólnienia, zwane rozszerzeniami ciała liczb wymiernych. Przykłady to pierwiastniki liczb wymiernych i inne liczby algebraiczne; nie muszą one należeć do liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby p-adyczne.