Macierz

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

W matematyce macierz to układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy^[1].

W algebrze liniowej macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi^[a]. Macierze pozwalają również na reprezentowanie przekształceń liniowych, czy form dwuliniowych w sposób umożliwiający przeprowadzanie obliczeń. Ponieważ wiele przekształceń geometrycznych (jak na przykład obroty przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wokół początku układu współrzędnych) są przekształceniami liniowymi, macierze znajdują zastosowanie w geometrii analitycznej i grafice komputerowej^[b].

Przykładami macierzy reprezentujących przekształcenia liniowe są pojawiające się w analizie wielowymiarowej macierze Jacobiego. Przykładami macierzy reprezentujących formy dwuliniowe są macierze Hessego w analizie wielowymiarowej oraz macierze kowariancji w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Przykładem macierzy której wprowadzenie nie jest motywowane reprezentowaniem żadnego naturalnego przekształcenia liniowego, czy formy kwadratowej jest macierz incydencji w teorii grafów^[c].

Oprócz wymienionych powyżej dziedzin macierze są wykorzystywane także w teorii reprezentacji, kryptografii, czy elektronice – część z tych użyć omówiono w Zastosowaniach. Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań w ramach algebry liniowej i teorii macierzy.

Elementy z których złożona jest macierz nazywamy współczynnikami macierzy. Aby zdefiniować operacje na macierzach takie jak suma dwóch macierzy lub iloczyn dwóch macierzy należy założyć, że współczynniki rozważanych macierzy należą do pewnego pierścienia. Popularnym mocniejszym założeniem jest wymaganie, by współczynniki macierzy należały do pewnego ciała. Jeszcze mocniejszym założeniem (niewymagającym znajomości abstrakcyjnego pojęcia ciała) jest przyjęcie, że zbiór dozwolonych współczynników ${\displaystyle K}$ jest (w zależności od potrzeb):

• liczbami wymiernymi ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ lub
• liczbami zespolonymi ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

W artykule zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki z ustalonego ciała ${\displaystyle K,}$ o ile nie zaznaczono inaczej.