Operator Hamiltona

Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) ${\displaystyle {\hat {H}}}$ – operator definiowany w mechanice kwantowej, będący odpowiednikiem funkcji Hamiltona ${\displaystyle H}$ (hamiltonianu) mechaniki klasycznej^[1].

Operator Hamiltona działa na wektory stanu układu kwantowego, tworzące przestrzeń Hilberta i reprezentujące wszystkie możliwe stany układu fizycznego.

Operator Hamiltona ma fundamentalne znaczenie w mechanice kwantowej, gdyż stanowi np. podstawowy składnik równania Schrödingera, gdzie jego działanie na wektor stanu ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ układu jest równe pochodnej czasowej tego wektora (z dokładnością do stałej ${\displaystyle \mathrm {i} \hbar }$), tj.

${\displaystyle {\hat {H}}|\Psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi (t)\rangle ,}$

gdzie:

• ${\displaystyle \hbar }$ – stała Plancka podzielona przez ${\displaystyle 2\pi ,}$
• ${\displaystyle \mathrm {i} }$ – jednostka urojona.

Postać operatora Hamiltona zależy od:

• rodzaju opisywanego układu
• rodzaju pól fizycznych, działających na układ (np. cząstka swobodna, cząstka w polu grawitacyjnym, elektrycznym, magnetycznym); przy tym pola mogą być stacjonarne lub zmienne w czasie, mogą posiadać jakąś symetrię (np. sferyczną, walcową). Istnienie symetrii pozwala na wybór odpowiedniego układu współrzędnych do zapisu operatora Hamiltona, co później upraszcza równanie Schrödingera.

Zapisanie operatora Hamiltona w jawnej postaci, w wybranej bazie przestrzeni Hilberta, właściwej dla danego układu kwantowego, pozwala znaleźć z równania Schrödingera zależność czasową wektora stanu, co stanowi podstawowe zadanie obliczeniowe mechaniki kwantowej.

Operator Hamiltona jest jedną z obserwabli, jakie wprowadza mechanika kwantowa, czyli operatorem takim, że jego wartości własne są wielkościami, które można otrzymać w eksperymencie.

Wartości własne operatora Hamiltona przedstawiają wartości energii, jakie układ kwantowy może posiadać. Ponieważ energie wyraża się za pomocą liczb rzeczywistych, to implikuje, że operator Hamiltona musi być operatorem hermitowskim (operatorem samosprzężonym)

${\displaystyle {\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}.}$

Jest tak dlatego, że tylko operator hermitowski ma wartości własne będące zawsze liczbami rzeczywistymi.

Każde równanie mechaniki kwantowej (np. równanie Pauliego czy równanie Diraca) można przedstawić w postaci analogicznej do równania Schrödingera, tj. takiej że z jednej strony tego równania występuje operator Hamiltona, działający na wektor stanu układu, a z drugiej operator pochodnej czasowej, działający na wektor stanu układu, mnożony przez ${\displaystyle \mathrm {i} \hbar .}$