Operator Stokesa

Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy^[1].

Operator używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}$ lub w sktócie ${\displaystyle D_{t}.}$

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$

różniczkowania cząstkowego względem czasu ${\displaystyle t.}$

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:

gdzie: ${\displaystyle v}$ – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu^[1].

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako ${\displaystyle \varphi ,}$ która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .}$

Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu^[1]:

${\displaystyle \phi =v,}$

${\displaystyle a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.}$