Teoria grup

Teoria grup – dział matematyki wyższej, konkretniej algebry abstrakcyjnej, badający grupy^[1]. Początkowo rozważano głównie grupy cykliczne i grupy permutacji, jednak z czasem zaczęto badać ich uogólnienia zdefiniowane aksjomatycznie, co zapoczątkowało historycznie pierwszy dział algebry abstrakcyjnej^{[potrzebny przypis]}. Teorię grup można uważać za ogólne badania nad symetrią^{[potrzebny przypis]}.

Struktury będące grupami – np. dodatnie liczby wymierne z mnożeniem – rozważano już w starożytności, jednak badania tych grup, którym ta dziedzina poświęca szczególną uwagę, zaczęły się wieki później. W I połowie XIX wieku Évariste Galois wprowadził ten termin w kontekście permutacji i zastosował grupy do badań wielomianów. Późniejsi uczeni znaleźli zastosowania grup do innych dziedzin matematyki, np.:

• lemat Burnside’a jest wykorzystywany w kombinatoryce;
• Sophus Lie wprowadził grupy nazwane od jego nazwiska, którymi opisał symetrie równań różniczkowych^{[potrzebny przypis]};
• Felix Klein zapoczątkował program erlangeński: za pomocą grup na nowo zdefiniował geometrię i jej cele, klasyfikując przy tym jej dotychczasowe obszary;
• Henri Poincaré zdefiniował grupy homotopii i homologii, otwierając topologię algebraiczną.

W XX wieku udowodniono nowe twierdzenia na temat grup, m.in. podano klasyfikację skończonych grup prostych i twierdzenie Feita-Thompsona, a John Griggs Thompson za swoje prace w tej dziedzinie otrzymał najwyższe wyróżnienia matematyczne. W latach 20. XXI wieku dalej ukazują się czasopisma naukowe poświęcone grupom^[2].

Bezpośrednie zastosowania tej teorii znaleziono także poza matematyką czystą. Pojawiają się one w kryptografii, fizyce teoretycznej, chemii i biologii – zwłaszcza genetyce – a nawet sztuce, np. teorii muzyki czy sztukach wizualnych. Związki grup z fizyką są wielorakie:

• dla mechaniki teoretycznej i teorii pola mają znaczenie symetrie czasoprzestrzeni i pól fizycznych, ponieważ twierdzenie Noether wiąże je z zasadami zachowania^[a];
• formalizm fizyki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup;
• grupami bada się też symetrie atomów, molekuł i kryształów.

Przez to z teorii grup korzystają teoria względności, fizyka cząstek elementarnych, spektroskopia^{[potrzebny przypis]} i fizyka ciała stałego, w tym krystalografia. Teoria grup była też inspiracją dla polskiego filmu fabularnego^[3].