Teoria liczb

Teoria liczb – dziedzina matematyki badająca własności niektórych typów liczb^[a]. Początkowo analizowała tylko liczby naturalne i wymierne, później rozszerzając zakres o inne liczby rzeczywiste, zwłaszcza algebraiczne^[1]. Przynajmniej częściowo jest zaliczana do matematyki dyskretnej^[2].

Jest to jedna z najstarszych dziedzin matematyki obok geometrii; obie dyscypliny od starożytności nie przestają na siebie oddziaływać. Rozwój teorii liczb miał też wpływ na inne gałęzie matematyki jak algebra^[1] – w tym ogólna algebra przemienna – oraz geometria algebraiczna, analiza zespolona i probabilistyka^[3]. Kierunek zastosowań jest też odwrotny: teoria liczb sama skorzystała z osiągnięć algebry, geometrii algebraicznej i probabilistyki^[1]. Niektóre z wykorzystywanych metod są zaawansowane jak np. algebra homologiczna^[1] i abstrakcyjna analiza harmoniczna^[3]. Teoria liczb obfituje w problemy otwarte postawione elementarnie – tj. zrozumiałe dla laików, nawet dla dzieci – ale czekające na rozwiązanie wyjątkowo długo, czasem stulecia. Niektóre z pytań zadanych w XVIII wieku – jak hipoteza Goldbacha i hipoteza prostopadłościanu idealnego – do dzisiaj pozostają bez odpowiedzi. Teorią liczb zajmowali się matematycy zaliczani do najwybitniejszych w historii jak Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss i Bernhard Riemann; wkład w tę dziedzinę nagradzano też najwyższymi zaszczytami w matematyce jak Medal Fieldsa, Nagroda Abela czy Medal Copleya przyznawany także innym naukowcom. Istnieją również nagrody poświęcone tej konkretnej dziedzinie – odpowiednie kategorie Nagrody Cole’a i Nagrody Fermata. Teorię liczb nazywano „królową matematyki”^[3][4].

W II połowie XX wieku znaleziono zastosowania tej dyscypliny w kryptologii i fizyce matematycznej, zwłaszcza kwantowej teorii pola, teorii strun oraz teorii kwantowego chaosu^[5]. Powstało całe czasopismo naukowe poświęcone związkom teorii liczb z fizyką^[6]. Ta dziedzina matematyki wywarła też pewien wpływ na popkulturę; amatorskie badania wielkiego twierdzenia Fermata są motywem powieści młodzieżowej Szatan z siódmej klasy Kornela Makuszyńskiego (1937).