Zasadnicze twierdzenie algebry

Zasadnicze twierdzenie algebry, podstawowe twierdzenie algebry^[1] – wspólna nazwa dwóch blisko powiązanych twierdzeń algebry i analizy zespolonej:

• każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek^[1];
• stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego pierwiastków. Oznacza to, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na czynniki liniowe – można go przedstawić jako ich iloczyn:

${\displaystyle f\in \mathbb {C} [X]\Rightarrow \exists a,z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} :f(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\dots (z-z_{n}).}$

Drugie twierdzenie jest konsekwencją pierwszego i twierdzenia Bézouta. Oba można też wyrazić w języku algebry abstrakcyjnej: ciało liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest algebraicznie domknięte, a pierścień wielomianów zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ ma jednoznaczność rozkładu – należy do pierścieni Gaussa^{[potrzebny przypis]}.

Twierdzenie to udowodnili na przełomie XVIII i XIX wieku Carl Friedrich Gauss i Jean-Robert Argand – ten pierwszy podał większość dowodu, a drugi go uzupełnił^[2].