Conjectura de Legendre

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A conjectura de Legendre, enunciada por Adrien-Marie Legendre, afirma que existe sempre um número primo entre ${\displaystyle n^{2}}$ e ${\displaystyle (n+1)^{2}}$, para qualquer ${\displaystyle n}$ inteiro positivo. Essa conjectura faz parte dos problemas de Landau (1912). A conjectura ainda não foi nem provada nem refutada.

Chen Jingrun demonstrou em 1965 que existe sempre um número compreendido entre ${\displaystyle n^{2}}$ e ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ que é primo ou semiprimo, ou seja, o produto de dois primos. Além disso, sabe-se que há sempre um número primo entre ${\displaystyle n-n^{\theta }}$ e ${\displaystyle n}$, sendo ${\displaystyle \theta =23/42=0,547...}$ (demonstrado por Iwaniec e Pintz em 1984)

A sequência dos primeiros primos compreendidos entre ${\displaystyle n^{2}}$ e ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ é 2, 3, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401,... (sequência A007491 na OEIS).

A sequência da quantidade de primos compreendidos entre ${\displaystyle n^{2}}$ e ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ é 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9,... (sequência A014085 na OEIS).