Homologia singular

Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos ${\displaystyle \{H_{p}^{s}(X)\}_{p\in \mathbb {N} }}$, e a cada aplicação contínua ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$, entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos ${\displaystyle f_{*,p}:H_{p}^{s}(X)\rightarrow H_{p}^{s}(Y)}$ ${\displaystyle (p\in \mathbb {N} )}$.

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante ${\displaystyle Hom\,\!}$ entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e os homomorfismos de grupos graduados em ${\displaystyle \mathbb {N} }$. É conveniente também, dado um espaço topológico ${\displaystyle X\,\!}$ e um subespaço ${\displaystyle A\subset X}$, definir a homologia singular relativa ${\displaystyle H(X,A)\,\!}$.