Produto categorial

O produto categorial é uma generalização categorial do produto cartesiano.

Seja C uma categoria e sejam ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ dois objetos da categoria C. O produto categorial de ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ é um objeto ${\displaystyle a\times b}$, junto a dois morfismos ${\displaystyle p_{a}:a\times b\rightarrow a}$ e ${\displaystyle p_{b}:a\times b\rightarrow b}$, tal que para qualquer objeto ${\displaystyle c}$ da categoria e para quaisquer morfismos ${\displaystyle f:c\rightarrow a}$ e ${\displaystyle g:c\rightarrow b}$ existe exatamente um ${\displaystyle h:c\rightarrow a\times b}$ tal que o diagrama da figura ao lado comuta, isto é: $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p_{a}\circ h=f\\p_{b}\circ h=g\end{array}}\right..}$$

Os morfismos ${\displaystyle p_{a}}$ e ${\displaystyle p_{b}}$ são chamados projeções. Podemos chamar o objeto ${\displaystyle c}$ junto com as setas ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ de pré-produto.

Sendo um caso particular do limite em teoria das categorias, produtos (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.^[1]