Subgrup

În matematică, dat fiind un grup G cu un operator binar ∗, o submulțime H a lui G se numește subgrup al lui G dacă H formează și el un grup cu operatorul ∗. Mai exact, H este subgrup al lui G dacă restricționarea lui ∗ la H × H este operator de grup pe H. Aceasta se notează de regulă cu H ≤ G, citit ca „H este subgrup al lui G”.

Subgrupul trivial al oricărui grup {e} constă doar din elementul neutru.

Un subgrup propriu al grupului G este un subgrup H a cărui mulțime este submulțime proprie a lui of G (adică H ≠ G). Aceasta se notează de regulă ca H < G, adică "H este subgrup propriu al lui G”. Unii autori exclud și grupul trivial din definiția subgrupului propriu (adică {e} ≠ H ≠ G).^[1][2]

Daca H este subgrup al lui G, atunci G este uneori denumit supergrup al lui H.

Aceleași definiții se aplică mai general când G este un semigrup arbitrar, dar acest articol tratează doar subgrupurile unor grupuri. Grupul G este uneori notat cu perechea ordonată (G, ∗), de regulă pentru a accentua operațiunea ∗ atunci când G conține și alte structuri algebrice.