Algebrska geometrija

Geometrija
Projeciranje krogle na ravnino.
Oris Zgodovina
Veje Evklidska Neevklidska (Eliptična (Sferična) Hiperbolična) Nearhimedska geometrija Projektivna Afina Sintetična Analitična Algebraična (Aritmetična Diofantska) Diferencialna (Riemannova Simplektična Diskretna diferencialna) Kompleksna Končna Diskretna/Kombinatorična (Digitalna) Konveksna Računalniška Fraktalna Vpadna
Koncepti Značilnosti Razsežnost Konstrukcije z ravnilom in šestilom Kot Krivulja Diagonala Ortogonalnost (Pravokotnost) Vzporednost Presečišče Kongruenca Podobnost Simetrija
Ničrazsežni prostor Točka
Enorazsežni prostor Premica (Daljica Poltrak) Dolžina
Dvorazsežni prostor Ravnina Ploščina Večkotnik Trikotnik Višina Hipotenuza Pitagorov izrek Paralelogram Kvadrat Pravokotnik Romb Romboid Štirikotnik Trapezoid Deltoid Krog Premer Obseg Ploščina
Trirazsežni prostor Prostornina Kocka (Kuboid) Valj Piramida Krogla
Štiri- / večrazsežni prostor Teserakt Hipersfera
Geometristi
po imenu Aida Arjabhata I. Ahmes Alhacen Apolonij Arhimed Atiyah Baudhajana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Čang Descartes Evklid Euler Gauss Gromov Hajam Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Klein Lobačevski Manava Minkowski Mingatu Pascal Pitagora Paramešvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi at-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin seznam geometristov
po obdobju pr. n. št. Ahmes Baudhajana Manava Pitagora Evklid Arhimed Apolonij 1–1400 Čang Kātyāyana Arjabhata I. Brahmagupta Virasena Alhacen Sijzi Hajam al-Jasamin at-Tusi Yang Hui Paramešvara 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700–1900 Gauss Lobačevski Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Sedanjost Atiyah Gromov
p p u

Algébrska geometríja je veja matematike, ki klasično raziskuje ničle polinomov z več spremeljivkami. Moderna algebrska geometrija temelji na rabi tehnik abstraktne algebre, največ iz komutativne algebre, za reševanje geometrijskih problemov o teh množicah ničel.

Temeljni predmeti proučevanja algebrske geometrije so algebrske varietete, ki so geometrijske manifestacije rešitev sistemov polinomskih enačb. Zgledi najbolj raziskanih razredov algebrskih varietet so: ravninske algebrske krivulje, ki vključujejo premice, stožnice (krožnice, parabole, elipse, hiperbole), kubične krivulje, kot na primer eliptične krivulje, in kvartične krivulje, kot so Bernoullijeve lemniskate in Cassinijevi ovali. Točka na ravnini pripada algebrski krivulji, če njene koordinate zadoščajo dani polinomski enačbi. Osnovna vprašanja vključujejo raziskovanje točk posebnega pomena, kot so singularne točke, prevojne točke in točke v neskončnosti. Naprednejša vprašanja vključujejo topologijo krivulje in razmerja med krivuljami, podanimi z različnimi enačbami.

Algebrska geometrija zavzema osrednje mesto v moderni matematiki in ima številne konceptualne povezave s tako različnimi področji, kot so kompleksna analiza, topologija in teorija števil. Sprva kot študij sistemov polinomskih enačb več spremenljivk, se predmet algebrske geometrije začne tam, kjer se konča reševanje enačb, in postane še pomembnejši kot razumevanje vrojenih značilnosti celote rešitev sistema enačb kot najti specifično rešitev – to vodi v nekatera najgloblja področja v vsej matematiki, tako konceptualno kot v smislu tehnike.

V 20. stoletju se je algebrska geometrija razcepila na več podpodročij:

• glavni tok algebrske geometrije je posvečen študiju kompleksnih točk algebrskih varietet in na splošno točkam s koordinatami v algebrsko zaprtem polju.
• realna algebrska geometrija je raziskovanje realnih točk algebrskih varietet.
• diofantska geometrija in splošneje aritmetična geometrija je raziskovanje točk algebrske varietete s koordinatami v poljih, ki niso algebrsko zaprti, in se pojavljajo v algebrski teoriji števil, kot so polja racionalnih števil, številska polja, končna polja, funkcijska polja in p-adična polja.
• velik del teorije singularnosti je posvečen singularnostim algebrskih varietet.
• računalniška algebrska geometrija je področje, ki se je pojavilo na stičišču algebrske geometrije in računalniške algebre z vzponom računalnikov. Sestoji se predvsem iz načrtovanja algoritmov in razvoja programske opreme za raziskovanje značilnosti eksplicitno danih algebrskih varietet.

Velik del razvoja glavnega toka algebrske geometrije v 20. stoletju se je zgodil znotraj okvira abstraktne algebre, pri čemer je bil vedno večji poudarek na »vrojenih« značilnostih algebrskih varietet, ki niso odvisne od nobenega posebnega načina vgrajevanja varietete v okoljski koordinatni prostor – to je vzporedno z razvojem topologije, diferencialne in kompleksne geometrije. Eden ključnih dosežkov te abstraktne algebrske geometrije je Grothendieckova teorija shem, ki omogoča uporabo teorije snopov za raziskovanje algebrskih varietet na način, ki je zelo podoben njeni rabi pri raziskovanju diferencialnih in analitičnih mnogoterosti. To se pridobi z razširitvijo pojma točke – v klasični algebrski geometriji se lahko točko afine varietete po Hilbertovem izreku o ničlah identificira z maksimalnim idealom koordinatnega kolobarja, medtem ko so točke ustrezne afine sheme vse praideali tega kolobarja. To pomeni, da je točka takšne sheme lahko bodisi običajna točka bodisi podvarieteta. Ta pristop omogoča tudi poenotenje jezika in orodij klasične algebrske geometrije, ki se v glavnem ukvarja s kompleksnimi točkami, in algebrske teorije števil. Wilesov dokaz dolgotrajne domneve, imenovane Fermatov veliki izrek, je zgled moči takšnega pristopa.