Projektivna ravnina

Projektivna ravnina je ploskev, ki razširja pojem ravnine. To je ravnina z Eulerjevo karakteristiko enako 1. Je običajna ravnina, ki vsebuje tudi točko v neskončnosti, kjer se sekajo vzporedne premice. V običajni ravnini se vzporednice sekajo v neskončnosti. Projektivno ravnino si lahko predstavljamo kot, da bi zlepili diametralno nasprotne točke sfere tako, da bi medsebojno zamenjali dve točki, ki povezujeta odsek na sferi. Tega ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez medsebojnega sekanja ploskve. Zaradi tega jo imenujemo tudi zvita sfera ^[1]. Projektivne ravnine ne moremo vložiti v trirazsežni evklidski prostor. Projektivna ravnina je neorientabilna ploskev.

Posebni obliki sta realna projektivna ravnina z oznako ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}}$ (tudi ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$) in kompleksna projektivna ravnina, ki jo označujemo s ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{2}}$.

Naj bo ${\displaystyle K}$ kolobar z deljenjem in naj ${\displaystyle K^{3}}$ označuje množico vseh mogočih trojk ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},x_{2})}$ elementov iz ${\displaystyle K}$. Za vsak neničelen ${\displaystyle x\,}$ v ${\displaystyle K^{3}}$ in premico v ${\displaystyle K^{3}}$ skozi izhodišče in ${\displaystyle x\,}$ podmnožica

${\displaystyle \{kx+ly:k,l\in K\}}$

spada v ${\displaystyle K^{3}}$.

Projektivno ravnino nad ${\displaystyle K}$ označujemo s ${\displaystyle K\mathbb {P} ^{2}}$. To je množica vseh premic v ${\displaystyle K^{3}}$ skozi izhodišče. Podmnožica ${\displaystyle L}$, ki pripada ${\displaystyle K\mathbb {P} ^{2}}$, je premica v ${\displaystyle K\mathbb {P} ^{2}}$, če obstoja ravnina v ${\displaystyle K^{3}}$, v kateri je množica premic natančno ${\displaystyle L}$.

1. ↑ Opis projektivne ravnine na MathWorld