Vektor (matematika)

Véktor (latinsko vector – nosilec;^[a] iz vehēre – nositi) ali evklídski véktor^[b] je v matematiki, fiziki in inženirstvu količina, ki ima velikost (dolžino ali normo) in smer, nima pa lege.^[1] Vektorje v dvo- ali trirazsežnem prostoru se predstavi z usmerjenimi daljicami. Usmerjena daljica ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{AB}}\!\,}$ je daljica, ki ima začetno točko ${\displaystyle A\!\,}$ in končno točko ${\displaystyle B\!\,}$.^[2][3]

Zgledi vektorskih fizikalnih količin

ime	označba	definicija
lega (krajevni vektor)	${\displaystyle \mathbf {\vec {s}} \!\,}$ (${\displaystyle \mathbf {\vec {r}} \!\,}$)
hitrost	${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {\vec {r}} }{\mathrm {d} t}}\!\,}$
pospešek	${\displaystyle \mathbf {\vec {a}} \!\,}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {\vec {v}} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {\vec {r}} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathbf {\vec {F}} }{m}}\!\,}$
gibalna količina	${\displaystyle \mathbf {\vec {G}} \!\,}$ ${\displaystyle \mathbf {\vec {P}} \!\,}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} \!\,}$	${\displaystyle m\mathbf {\vec {v}} \!\,}$ ${\displaystyle m_{0}\gamma \mathbf {\vec {v}} \!\,}$ ${\displaystyle -i\hbar {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}=-i\hbar \nabla \!\,}$
sila	${\displaystyle \mathbf {\vec {F}} \!\,}$	${\displaystyle m\mathbf {\vec {a}} \!\,}$
sunek sile	${\displaystyle \mathbf {\vec {I}} \!\,}$	${\displaystyle \int \mathbf {\vec {F}} \,\mathrm {d} t\!\,}$
navor	${\displaystyle \mathbf {\vec {M}} \!\,}$	${\displaystyle \mathbf {\vec {r}} \times \mathbf {\vec {F}} \!\,}$
vrtilna količina	${\displaystyle \mathbf {\vec {\Gamma }} \!\,}$	${\displaystyle \mathbf {\vec {r}} \times \mathbf {\vec {G}} \!\,}$
trzaj	${\displaystyle \mathbf {\vec {j}} \!\,}$ ${\displaystyle \mathbf {\vec {b}} \!\,}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {\vec {a}} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {\vec {v}} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {\vec {r}} }{\mathrm {d} t^{3}}}\!\,}$
jakost električnega polja	${\displaystyle \mathbf {\vec {E}} \!\,}$	${\displaystyle -\mathbf {\vec {\nabla }} \,\varphi \!\,}$[c] ${\displaystyle -\mathbf {\vec {\nabla }} \,\varphi -{\frac {\partial \mathbf {\vec {A}} }{\partial t}}\!\,}$
gostota magnetnega polja	${\displaystyle \mathbf {\vec {B}} \!\,}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,}$

Zgledi vektorskih funkcij, polj in operacij

gradient (skalarnega polja)	${\displaystyle \mathbf {\vec {\nabla }} f(p)\!\,}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f(p)}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f(p)}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\!\,}$
ploskovni gradient	${\displaystyle \mathbf {\vec {\nabla }} _{\mathrm {S} }f(p)\!\,}$	${\displaystyle \mathbf {\vec {\nabla }} f(p)-\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\vec {\nabla }} f(p))\!\,}$
Jacobijeva matrika (vektorske funkcije)	${\displaystyle \mathbf {J} \!\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {\vec {f}} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {\vec {f}} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}\!\,}$
gradient vektorskega polja	${\displaystyle \mathbf {\vec {\nabla }} \mathbf {\vec {f}} \!\,}$	${\displaystyle g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}\otimes \mathbf {\hat {e}} _{k}\!\,}$[d]
rotor	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {V}} \!\,}$	${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {\hat {i}} &\mathbf {\hat {j}} &\mathbf {\hat {k}} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\!\,}$
vektorski potencial	${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}$

Usmerjeni daljici ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{AB}}\!\,}$ in ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{CD}}\!\,}$ predstavljata isti vektor ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\!\,}$, če sta:

• vzporedni,
• enako dolgi in
• enako orientirani (usmerjeni).

Vektorji se lahko dodajajo drugim vektorjem v skladu z vektorsko algebro.

Vektor je tisto, kar je potrebno za »prenos« točke ${\displaystyle A\!\,}$ v točko ${\displaystyle B\!\,}$ – latinska beseda vector pomeni nosilec.^[a] Prvi so vektor uporabili astronomi v 18. stoletju, ko so raziskovali kroženje planetov okrog Sonca.^[4] Velikost vektorja je razdalja med dvema točkama, smer pa se nanaša na smer premika od ${\displaystyle A\!\,}$ do ${\displaystyle B\!\,}$. Mnoge algebrske operacije na realnih številih, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in negiranje, imajo podobne analogone za vektorje,^[1] operacije, ki upoštevajo znane algebrske zakone komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti. Te operacije in povezani zakoni kvalificirajo vektorje kot primer splošnejšega koncepta vektorjev, definiranih preprosto kot elemente vektorskega prostora.

Vektorji so pomembni v fiziki – z njimi je mogoče opisati hitrost in pospešek premikajočega se telesa ter sile, ki delujejo nanj.^[5] Mnoge druge fizikalne količine se lahko koristno predstavlja kot vektorje. Čeprav večina od njih ne predstavlja razdalj (razen na primer lege ali premika), je njihovo velikost in smer vseeno mogoče predstaviti z dolžino in smerjo puščice. Matematična predstavitev fizičnega vektorja je odvisna od koordinatnega sistema, uporabljenega za opis. Drugi vektorjem podobni objekti, ki opisujejo fizikalne količine in se transformirajo na podoben način pod spremembami koordinatnega sistema, vključujejo psevdovektorje in tenzorje.^[6]

V matematiki velja, da se lahko vektor vzporedno prenese v poljubno začetno točko, v fiziki pa je marsikdaj pomembno, katero začetno točko (prijemališče) ima vektor.

V matematiki se poleg dvo- in trirazsežnih uporablja tudi posplošene večrazsežne (${\displaystyle n\!\,}$-razsežne) vektorje.

Napaka pri navajanju: Obstajajo <ref group=lower-alpha> oznake ali predloge {{efn}} na tej strani, toda sklici se ne bodo izpisali brez predloge {{sklici|group=lower-alpha}}  ali predloge {{notelist}} (glej stran pomoči).

1. ↑ ^{1,0 1,1} Napaka pri navajanju: Neveljavna oznaka <ref>; sklici, poimenovani spl1, ne vsebujejo besedila (glej stran pomoči).
2. ↑ Napaka pri navajanju: Neveljavna oznaka <ref>; sklici, poimenovani ito--1993, ne vsebujejo besedila (glej stran pomoči).
3. ↑ Napaka pri navajanju: Neveljavna oznaka <ref>; sklici, poimenovani pedo-1988, ne vsebujejo besedila (glej stran pomoči).
4. ↑ Napaka pri navajanju: Neveljavna oznaka <ref>; sklici, poimenovani spl2, ne vsebujejo besedila (glej stran pomoči).
5. ↑ Napaka pri navajanju: Neveljavna oznaka <ref>; sklici, poimenovani spl3, ne vsebujejo besedila (glej stran pomoči).
6. ↑ Napaka pri navajanju: Neveljavna oznaka <ref>; sklici, poimenovani spl4, ne vsebujejo besedila (glej stran pomoči).