Binomialkoefficient

Inom matematiken definieras binomialkoefficienten eller binomialtalet ${\displaystyle {n \choose k}}$ kombinatoriskt för det naturliga talet n och heltalet k som antalet oordnade urval av k olika element ur en mängd med n olika element, det vill säga antalet k-delmängder av en n-mängd. Det går att visa att detta är ekvivalent med

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}}$ för ${\displaystyle n\geq k\geq 0}$

där '!' betecknar fakultet och

${\displaystyle {n \choose k}=0}$ för ${\displaystyle k<0}$ eller ${\displaystyle k>n}$.

Den sista likheten beror på att det inte går att välja ut ett negativt antal element ur en n-mängd och inte heller fler än n element.

Denna algebraiska framställning generaliserades av Isaac Newton till en allmännare algebraisk definition, där för varje reellt tal a och varje naturligt tal k sätts

${\displaystyle {a \choose k}={\frac {a(a-1)\cdots (a-k+1)}{k!}}}$.

Senare har denna definition utvidgats, genom att a tillåts vara ett godtyckligt komplext tal.

Binomialkoefficienterna är koefficienterna i utvecklingen av potenser av binomet ${\displaystyle x+y}$:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$

Denna utveckling är generaliserad genom den allmänna binomialsatsen, vilken tillåter att exponenten n är negativ eller till och med ett godtyckligt komplext tal.

Binomialkoefficeinterna är också viktiga inom bland annat kombinatoriken och sannolikhetsteorin.