Fermattal

Ett fermattal är inom talteorin ett naturligt tal, som kan skrivas på formen:

${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$

där n är ett naturligt tal.

Ett fermattal betecknas F_n , där

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

De sju första Fermattalen är (talföljd A000215 i OEIS):

${\displaystyle F_{0}=3\,}$

${\displaystyle F_{1}=5\,}$

${\displaystyle F_{2}=17\,}$

${\displaystyle F_{3}=257\,}$

${\displaystyle F_{4}=65\,537}$

${\displaystyle F_{5}=4\,294\,967\,297}$

${\displaystyle F_{6}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,617}$.

Fermattalen studerades först av Pierre de Fermat, som förmodade att de alla var primtal.^[1] Hypotesen visade sig dock vara falsk. Leonhard Euler fann 1732 att F₅ = 4 294 967 297 = 641·6 700 417. De fermattal, som är primtal kallas Fermatprimtal och de enda sådana, som man känner till är 3, 5, 17, 257 och 65537.

Fermattalen är parvis relativt prima.

Det lägsta Fermattal vars primtalsstatus var okänd var i november 2024 F₃₃ (ett tal med 2 585 827 973 siffror^[a]) och av Fermattalen som är mindre än detta var inga primtalsfaktorer till F₂₀ och F₂₄ kända, utan det hade bara visats att de är sammansatta^[2]. Alla Fermattal upp till F₁₁ är fullständigt faktoriserade och totalt 305 Fermattal har visats vara sammansatta, det största av dessa är F_3329780 som innehåller primtalsfaktorn 193.^[3]

Referensfel: <ref>-taggar finns för en grupp vid namn "not", men ingen motsvarande <references group="not"/>-tagg hittades