Fourierserie

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2018-03) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Fourierserier (svenskt uttal /fʊrɪˈjeː/^[1], efter Jean Baptiste Joseph Fourier) är en variant av Fouriertransformen för funktioner som bara är definierade för ett intervall av längden ${\displaystyle T}$, eller som är periodiska med periodiciteten ${\displaystyle T}$. Varje kontinuerlig periodisk funktion kan skrivas som summan av ett antal sinusfunktioner med varierande amplitud där varje sinusfunktion har en frekvens som är en heltalsmultipel av den lägsta frekvensen i den periodiska funktionen, 1/T (grundtonen).

Fourierutvecklingen av en funktion ${\displaystyle f}$ med perioden 2π kan definieras som

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))}$, där

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx\\b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx\end{array}}\right.}$

Inte alla periodiska funktioner kan skrivas som en Fourierserie där serien konvergerar punktvis. Ett tillräckligt villkor är t.ex. att ${\displaystyle f}$ är styckvis deriverbar.

Mer allmänt kan Fourierutvecklingen av en vektor ${\displaystyle {\bar {x}}}$ relativt en ortonormerad bas ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=0}^{n-1}}$ i ett Hilbertrum definieras som

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{i=0}^{n-1}\langle {\bar {x}},e_{i}\rangle e_{i}}$, för någon inre produkt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$.