Lucastal

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom talteorin är lucastalen en talföljd L_n, definierad av:

${\displaystyle L_{n}={\begin{cases}2,&{\mbox{om }}n=0\\1,&{\mbox{om }}n=1\\L_{n-1}+L_{n-2},&{\mbox{om }}n>1\end{cases}}}$

De första lucastalen är

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... (talföljd A000204 i OEIS)

Lucastalens definition liknar mycket definitionen för fibonaccitalen; skillnaden är att de två första talen är 2 och 1 istället för 1 och 1. Därför visar lucastalen också ett nära släktskap med fibonaccitalen. Till exempel:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}$ om n > 1
• ${\displaystyle F_{2n}=F_{n}L_{n}}$
• ${\displaystyle F_{3n}=F_{n}(L_{2n}+(-1)^{n})}$
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {L_{n}}{L_{n-1}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {F_{n}}{F_{n-1}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }$

där F_n är det n-te fibonaccitalet, och φ är det gyllene snittet.

Talföljden är namngiven efter den franske matematikern François Édouard Anatole Lucas.